2017-2018高二数学理科下学期期末试题(附答案陕西西安长安区一中)

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2017-2018高二数学理科下学期期末试题(附答案陕西西安长安区一中)

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5Y k J. c oM

长安一中2017-2018学年度高二第二学期期末考试
数学试题(理科)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集 是实数集 ,集合 , ,则图中阴影部分所表示的集合是   (    )
A.  B.  
C.    D.  
2.下面是关于复数 的四个命题:其中的真命题为(   )
①在复平面内,复数 对应的点位于第二象限      ②复数 的虚部是-2 
  ③复数 是纯虚数                 ④ 
A. ①②         B. ①③        C. ②④         D. ③④
3.设 ,则(     )
A.  B.     C.  D.
4.已知向量a=(1,- ),b=(1,2 )且a⊥b,则 等于(  )
A.-1         B.0           C. 12           D. 22
5.在 中,角A、B、C所对的边分别是 、 、 ,若 , ,则 等于(   )
A.       B.      C.    D. 
6.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为(    )
A.18        B.24        C.30          D.36
7. 若下框图所给的程序运行结果为 ,那么判断框中应填入的关于 的条件是(   )                       
 


 A.          B.         C.         D. 
8.若某几何体的三视图(单位: )如图所示,则该几何体的
体积等于(    )
A.         B.       
    C.         D. 
9.下列说法中,正确的是(     )
A.命题“若 ,则 ”的逆命题是真命题
B.命题“存在 ”的否定是:“任意 ”
C.命题“ 或 ”为真命题,则命题“ ”和命题“ ”均为真命题
D.“ ”是“函数 是偶函数”的充分不必要条件
10.右图是函数y=Asin(ωx+φ)( , )图像的一部分.为了得到这个函数的图像,只要将y=sin x(x∈R)的图像上所有的点    (    )
 .向左平移π3个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变.
 .向左平移π3个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变.
 .向左平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变.
 .向左平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变.
11.已知定义在 上的函数 对任意 都满足 ,且当 时, ,则函数 的零点个数为(   )
  A.2           B.3               C.4                D.5
12.定义在 上的函数 满足: 则不等式 (其中 为自然对数的底数)的解集为(      )
A.      B.      C.     D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.函数 的定义域为 ,则函数 的定义域是__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬______
14.已知 ,则 的展开式中的常数项为         .
15.函数 的图像恒过定点A,若点A在直线 上,其中 则 得最小值为          .
16.已知函数 若方程 有三个不同的实数根,则 的取值范围是     .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
17. (本小题共12分)设数列  9, 
(1)求证: 是等比数列;
(2)若数列 满足 ,
求数列 的前 项和 ;
18.(本小题满分12分)如图,三棱柱 中,侧棱 平面 , 为等腰直角三角形, ,且 分别是 的中点.
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求锐二面角 的余弦值.
19.某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取 名学生的笔试成绩(被抽取学生的
成绩均不低于 分,且不高于 分),按成绩分组,得到的频率分布表如下左图所示.
(1) 请先求出 、 、 、 的值,再在答题纸上补全频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?
(3)在(2)的前提下,学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试,
第4组中有ξ名学生被考官A面试,求ξ的分布列和数学期望.
组号 分组 频数 频率
第1组   5 0.050
第2组   
 

第3组   30 

第4组   20 0.200
第5组   10 0.100

 

 

 

 


20.(本小题共12分)已知椭圆 的一个焦点 与抛物线 的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为 ,倾斜角为 的直线 过点 .
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的另一个焦点为 ,问抛物线 上是否存在一点 ,使得 与 关于直线 对称,若存在,求出点 的坐标,若不存在,说明理由.
21. (本小题共12分)已知函数
(Ⅰ)求 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)若存在 ,满足 成立,求 的取值范围;
(Ⅲ)当 时, 恒成立,求 的取值范围.
选考题:请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.(本小题满分10分)选修4—4:极坐标系与参数方程.
在直角坐标系 中,曲线C1的参数方程为  (t为参数).曲线C2:  ,以坐标原点为极点,以 轴正半轴为极轴建立极坐标系,若点P的极坐标为( ).
(I)求曲线C2的极坐标方程;
(Ⅱ)若C1与C2相交于M、N两点,求 的值.
23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知 .
(I)当m=0时,求不等式 的解集;
(Ⅱ)对于任意实数 ,不等式 成立,求m的取值范围.
 
2017-2018学年度高二第二学期期末考试
数学试题(理科)答案
一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
CCABB   CDBBA   BA
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.        14.         15. 2     16.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
17.(本小题共12分)解:(1)依题意, ,故 ,
 当           ①
      又        ②
②-①整理得: ,故 是等比数列, 
 (2)由(1)知,且 , ,
 
   
  
18. (本小题满分12分)
(Ⅰ)连结 ,∵ 是等腰直角三角形 斜边 的中点,∴ .
又 三棱柱 为直三棱柱,
∴面 面 ,
∴ 面 , .
设 ,则 .
∴ ,∴ .
又 ,∴  平面 .
(Ⅱ)以 为坐标原点, 分别为 轴建立直角坐标系如图,设 ,
则 ,
 , .
由(Ⅰ)知, 平面 ,
∴可取平面 的法向量 .
设平面 的法向量为 ,

∴可取 .
设锐二面角 的大小为 ,
则 .
∴所求锐二面角 的余弦值为 .
19. (本小题共12分)【解】:(1)由第1组的数据可得 ,第2组的频率 = ,第2组的频数为 = 人, 
第3组的频率为 = ,  
频率分布直方图如右:  
(2)因为第3、4、5组共有60名学生,
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组: 人,… 6分
第4组: 人, …7分
第5组: 人,  …8分
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.
(3)由题意知变量ξ的可能取值是0,1,2
该变量符合超几何分布,

ξ 0 1 2
P     
∴分布列是

20. (本小题共12分)解:(Ⅰ)抛物线 的焦点为 ,准线方程为 ,
 ∴        ① 
又椭圆截抛物线的准线 所得弦长为 ,
  ∴  得上交点为 ,∴      ②
由①代入②得 ,解得 或 (舍去),
从而  
∴   该椭圆的方程为该椭圆的方程为
(Ⅱ)∵ 倾斜角为 的直线 过点 ,
∴ 直线 的方程为 ,即 ,
由(Ⅰ)知椭圆的另一个焦点为 ,设 与 关于直线 对称,则得    ,解得 ,即 ,
又 满足 ,故点 在抛物线上.所以抛物线 上存在一点 ,使得 与 关于直线 对称.
21. (本小题共12分)
解:(Ⅰ)            
         在 处的切线方程为: 
       即                  
   (Ⅱ)        即    令     
        时,  , 时, 
       在 上减,在 上增
     又 时,  的最大值在区间端点处取到.
   
     
     在 上最大值为 ,
故 的取值范围是: < .              
(Ⅲ)由已知得 时 恒成立,设  
由(Ⅱ)知 ,当且仅当 时等号成立,
故 从而当
即 时, , 为增函数,又
于是当 时,   即   时符合题意。
由 可得 ,从而当 时,
 
故当 时, , 为减函数,又 ,
于是当 时,  即
故 ,不符合题意.综上可得 的取值范围为       
                   
 


 

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